Tronc commun (MAT 311)


En bref

Tronc commun

A partir de: 10 mai 2011
Cours: mardi, 8:30-10:00, Amphi Arago
Ressources pédagogiques: page de Frank Pacard
Petites Classes: mardi, 13:30-15:30 (Gr 13) et 15:45-17:45 (Gr 1), PC 17
Email: julia.wolf at math.polytechnique.fr
Liens utiles: information du département
Références bibliographiques: "Analyse Réelle et Complexe" par Frank Pacard
 
 

Résumé |  Calendrier | Organisation | Liens Utiles


Résumé

Ce cours constitue une initiation à l'analyse mathématique réelle et complexe, dont il présente quatre grandes thématiques :

• la théorie de la mesure et de l'intégration au sens de Lebesgue ;
• l'analyse de Fourier ;
• la théorie des espaces de Hilbert et les méthodes variationnelles ;
• la théorie des fonctions holomorphes (c'est-à-dire des fonctions d'une variable complexe qui sont dérivables au sens complexe).

L'ensemble du cours vise à fournir aux élèves un socle de compétences solide en analyse fonctionnelle, qui leur ouvrira l'accès à plusieurs domaines scientifiques : mathématiques fondamentales, mathématiques appliquées, mécanique ou physique théaurique. Ce cours permet d'aborder avec profit tous les enseignements de mathématiques et de mathématiques appliquées de 2ième et 3ième année, notamment le module long MAT431, ou le module court MAT432, qui constituent le prolongement naturel de ce cours.

La théorie de la mesure et de l'intégration sert de fondation à diverses branches des mathématiques et des mathématiques appliquées. Elle est couramment utilisée dans les applications (par exemple en analyse numérique). Elle offre un cadre naturel à la théorie des probabilités telle qu'elle est présentée dans le cours de 2ième année de mathématiques appliquées (MAP 432) et elle sert aussi de fondement à la théorie de la mesure géométrique. Elle sera illustrée principalement à travers ses applications en analyse de Fourier et la construction de certains espaces de Hilbert. L'analyse de Fourier trouve elle aussi de nombreuses applications : résolution des équations aux dérivées partielles ou traitement du signal (voir le cours de MAP 555). La théorie des espaces de Hilbert, qui mélange analyse et géométrie, constitue une première approche de la théorie des opérateurs et de la théorie spectrale, c'est aussi un outil essentiel pour résoudre certains problèmes variationnels (voir par exemple le cours d'optimisation MAP 431) et les équations aux dérivées partielles (voir par exemple les cours de MAT431, MAT432 ou MAP431) qui apparaissent en physique et en mécanique (équations de la chaleur, des ondes, de Schršdinger). La théorie des fonctions holomorphes trouve des applications variées aussi bien dans divers branches des mathématiques fondamentales (théorie des nombres, géométrie, surfaces minimales, etc.) que dans des domaines appliqués (mécanique des fluides, par exemple).

Les notions mathématiques étudiées dans ce cours seront motivées et illustrées par quelques applications : l'utilisation de l'analyse de Fourier pour décrire le phénomène de diffraction en optique, l'utilisation de la théorie des espaces de Hilbert en mécanique quantique, l'utilisation des fonctions holomorphes en mécanique des fluides (aérodynamique) ou dans l'étude géométrique des surfaces minimales etc.

Cet enseignement ne fait appel à aucune connaissance mathématique particulière autre que celles figurant aux programmes des classes préparatoires. Un amphi sera néanmoins consacré aux compléments de topologie (topologie des espaces vectoriels normés et des espaces métriques) qui sont indispensables en vue de l'étude de la théorie de l'intégration au sens de Lebesgue et de l'étude des espaces de Hilbert.

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Calendrier

Date ContenuA rédiger pour la séance suivante
10 mai espaces métriques: compacité, connexitéF1, Ex 12
17 mai intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergenceF2, Ex 7
24 mai propriétés de l'intégrale et théorie de la mesureF3, Ex 7
31 mai espaces de Lebesgue et la transformation de FourierDM 1 (obligatoire)
7 juin espaces de Hilbert, théorème de représentation de RieszF5, Ex 3
14 juin convergence faible, opérateurs compacts et théorie spectraleF6, Ex 14
21 juin espaces de Sobolev, calcul variationnel
28 juin fonctions holomorphes et méromorphes, formule de CauchyF8, Ex 12
5 juillet calcul des résidus, lemme de Schwarz

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Organisation

Le premier devoir à la maison est à rendre impérativement en petite classe le 7 juin.
Voici le corrigé du DM1 en format pdf (par Sébastien Boucksom).
Le barême est le suivant: Q1 3, Q2 3, Q3 1, Q4 3, Q5 4, Q6 3, Q7 3, Total 20.

Le 14 juin la séance aura exceptionnellement lieu en PC 21.

Le 21 juin la séance aura exceptionnellement lieu en Amphi Curie.

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Liens Utiles

The topologist's sine curve (Feuille 1, Ex 15)
The Birkhoff-Kakutani Theorem (plus au sujet de la metrisabilité)
L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor
The Lebesgue Integral par Terry Tao (Medaille Fields 2006)
L'inégalité de Loomis-Whitney (papier original sur le résultat Feuille 3, Ex 14)
La loi forte des grands nombres sur le blog de Terry Tao (Feuille 4, Ex 5)
Le théorème de Roth (analyse de Fourier en théorie des nombres)
Théorème de l'application ouverte
Théorème de Payley-Wiener (transformées de Fourier holomorphes)
Feuilles de TD de l'ENS (avec corrigés, l'examen final approche!)

Je vous conseille aussi le livre de Walter Rudin "Analyse Réelle et Complexe".

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Mise à jour le 28 juin 2011.